在高速公路养护队的例子中, 我们注意到一些影响投入和产出的因素具有 随意性 (Banker et al., 1986)。例如: 在高速公路维护队员的眼里, 气候因素和服务的平均车流量是不可控制的因素。在先前介绍的 DEA 模型中, 所有的投入和产出被假定为任意可支配的, 也就是说, 所有的投入 (或者是产出) 是可以同比例改变的。然而, 对于不可控变量, 我们不能这么做, 因为它们不是决策单元所能决定的, 并且不受决策单元的直接影响 。 存在这样的一种令人咸兴趣的情况, 即当投入 (或者产出) 集合中仅一部分的子集发生变动时, 其对效率会产生何种影响。因此, 我们需要一种新的 DEA 模型 来反映如下的情况:

我们首先来看一下处理不可控变量的几何意义。考虑这样的一种情况: 如上图所示, 我们有两个投入变量, 其中一个是不受决策单元控制的。如果 $x_1$ 是不可控变量 (或者我们仅仅对变量 $x_2$ 感兴趣), 那么, 决策单元 $D$ 仅需要减少投入 $2\left(x_2\right)$ 的数量就可以达到有效前沿面上的 $A$ 点。

如果 $x_2$ 是不可控变量 (或者我们仅仅对变量 $x_1$ 感兴趣), 那么, 决策单元 $D$ 仅需要通过减少投入 $1\left(x_1\right)$ 的数量就可以达到有效前沿面上的 $B$ 点。 回忆原始的DEA 模型, 它会通过同时减少两个投入的数量进而达到有效前沿面上的 $C$ 点。

接下来, 让我们来调整 CRS 模型以刻画如下情形: 对于输入导向模型, 仅减少一个输入子集; 对于输出导向模型, 仅增加一个输出子集。考虑如下模型: $$ \min \theta-\varepsilon\left(\sum_{i=1}^m s_i^{-}+\sum_{r=1}^s s_r^{+}\right) $$ s.t. $$ \begin{array}{ll} \sum_{j=1}^n \lambda_j x_{i j}+s_i^{-}=\theta x_{i o} & i \in I \\ \sum_{j=1}^n \lambda_j x_{i j}+s_i^{-}=x_{i o} & i \notin I \\ \sum_{j=1}^n \lambda_j y_{r j}-s_r^{+}=y_{r o} & r=1,2, \cdots, s \\ \lambda_j \geqslant 0 & j=1,2, \cdots, n \end{array} $$ 这个模型中有 $m$ 种投入, 其中, $I \subseteq\{1,2, \cdots, m\}$ 代表将要减少的输入指标。 除了 $\theta$ 仅与集合 $I$ 的子集相乘以外, 这个模型和输入导向的 CRS 模型没有区别。 第一个输入约束是针对可控的输入指标, 第二个约東没有 $\theta$, 它是针对不可控的输入指标。

这个模型可以分两步解决。首先, 求出效率值 $\theta$ 注意到 $\theta$ 的值仅由输入集合的子集决定, 也就是要解下面的模型:

$$ \begin{array}{ll} \min \theta \\ \text { s.t. } \\ \sum_{j=1}^n \lambda_j x_{i j} \leqslant \theta x_{i o} \quad i \in I \\ \sum_{j=1}^n \lambda_j x_{i j} \leqslant x_{i o} \quad i \notin I \\ \sum_{j=1}^n \lambda_j y_{r j} \geqslant y_{\text {ro }} \quad r=1,2, \cdots, s \\ \lambda_j \geqslant 0 \quad & j=1,2, \cdots, n \end{array} $$

然后, 保持所得到的最优值 $\theta^*$ 不变, 根据模型求出松驰变量: $$ \begin{array}{ll} \max \sum_{i=1}^m s_i^{-}+\sum_{r=1}^s s_r^{+} & \\ \text {s.t. } \\ \sum_{j=1}^n \lambda_j x_{i j}+s_i^{-}=\theta^* x_{i o} \quad \text { i } \in I \\ \sum_{j=1}^n \lambda_j x_{i j}+s_i^{-}=x_{i o} & i \notin I \\ \sum_{j=1}^n \lambda_j y_{r j}-s_r^{+}=y_{r o} & r=1,2, \cdots, s \\ \lambda_j \geqslant 0 & j=1,2, \cdots, n \end{array} $$ 一旦我们解决了两阶段模型的问题, 我们可以得到一个在有效前沿面上的 DEA 投影目标: $$ \begin{cases}\widehat{x}_{i o}=\theta^* x_{i o}-s_i^{-*} & i \in I \\ \widehat{x}_{i o}=x_{i o}-s_i^{-*} & i \notin I \\ \widehat{y}_{\text {ro }}=y_{r o}+s_i^{+*} & r=1,2, \cdots, s\end{cases} $$ 相似地, 我们也可以调整输出导向的 CRS 模型来解决存在输出指标是不可控情形, 或者用来解决我们仅仅对部分输出指标咸应趣的情形。下图画出了有两个输出指标的产出前沿面。

如图所示, 我们考虍如下情况, 这里有两个产出, 其中一个是可控制的, 另一个是不可控制的。如果 $y_1$ 是不可控的 (或者如果我们仅仅对 $y_2$ 咸兴趣), 那 么决策单元 $D$ 将仅仅增加它产出 $2\left(y_2\right)$ 的产量进而达到产出前沿面上的 $A$ 点。如果 $y_2$ 是不可控的 (或者如果我们仅仅对 $y_1$ 感兴趣), 那么, 决策单元 $D$ 将仅仅增 加产出 $1\left(y_1\right)$ 的产量进而达到产出前沿面上的 $C$ 点。

传统的 CCR 模型中, 两个产出需要同比例的增加才能到达产出前沿面上的点。 现在, 以 $O \subseteq\{1,2, \cdots, s\}$ 来表示我们感兴趣的特定输出子集。下面这个模型是输出导向的 CRS 模型, 用来解决非可控产出情形。也即仅部分产出子集的产出数量可以允许增加。 $$ \begin{array}{ll} \max \phi+\varepsilon\left(\sum_{i=1}^m s_i^{-}+\sum_{r=1}^s s_r^{+}\right) & \\ \text {s.t. } & i=1,2, \cdots, m \\ \sum_{j=1}^n \lambda_j x_{i j}+s_i^{-}=x_{i o} & r \in O \\ \sum_{j=1}^n \lambda_j y_{r j}-s_r^{+}=\phi y_{r o} & r \notin O \\ \sum_{j=1}^n \lambda_j y_{r j}-s_r^{+}=y_{r o} & j=1,2, \cdots, n \\ \lambda_j \geqslant 0 & \end{array} $$ 除了 $\phi$ 只是和输出子集相乘以外, 这个模型和输入导向的CRS包络模型是一 样的。这个模型同样也是通过一个两阶段的过程求解:

第一阶段 $$ \begin{array}{ll} \max \phi & \\ \text { s.t. } \\ \sum_{j=1}^n \lambda_j x_{i j} \leqslant x_{i o} \quad i=1,2, \cdots, m \\ \sum_{j=1}^n \lambda_j y_{r j} \geqslant \phi y_{r o} \quad r \in O \\ \sum_{j=1}^n \lambda_j y_{r j} \geqslant y_{\text {ro }} \quad r \notin O \\ \lambda_j \geqslant 0 \quad & j=1,2, \cdots, n \end{array} $$ 第二阶段 \begin{array}{ll} \max \sum_{i=1}^m s_i^{-}+\sum_{r=1}^s s_r^{+} & \\ \text { s.t. } \\ \sum_{j=1}^n \lambda_j x_{i j}+s_i^{-}=x_{i o} \quad i=1,2, \cdots, m \\ \sum_{j=1}^n \lambda_j y_{r j}-s_r^{+}=\phi^* y_{r o} \quad r \in O \\ \sum_{j=1}^n \lambda_j y_{r j}-s_r^{+}=y_{r o} & r \notin O \\ \lambda_j \geqslant 0 & j=1,2, \cdots, n \end{array}

参考资料：